Ondes (thermo)hydrodynamiques non linéaires

Mathieu Jenny & Emmanuel Plaut

 

      Les ondes non linéaires sont des structures idéales très cohérentes qui peuvent être utilisées pour obtenir une description approchée des structures cohérentes apparaissant dans de nombreux écoulements. Ainsi, elles permettent souvent de modéliser la première étape de la transition vers la turbulence. Il importe donc de développer des méthodes pour calculer ces ondes non linéaires de façon efficace, pour analyser leur structure et les mécanismes qui les entretiennent ou les modifient. Nous nous sommes surtout focalisés sur des ondes apparaissant dans des systèmes à symétrie cylindrique (symétries de révolution autour d'un axe), même si l'article [4] ci-dessous considère aussi des systèmes à symétrie cartésienne (symétries de translation dans une direction).

 

      Un premier exemple d'ondes non linéaires est donné par les ondes de Rossby thermiques qui apparaissent par instabilités thermoconvectives dans un noyau planétaire liquide, entre la « graine » centrale solide et chaude et le « manteau » externe solide et relativement froid. Des ondes turbulentes de ce type expliqueraient dans le cas du noyau métallique de la Terre la génération d'un champ magnétique par effet « dynamo », voir par exemple Busse, Annu. Rev. Fluid Mech. 32 (2000). En l'absence de tels effets magnétohydrodynamiques, la contrainte de Proudman-Taylor, exprimant que la force de Coriolis amortit les gradients le long de l'axe de rotation diurne de la planète, implique que l'écoulement près du seuil de convection doit être essentiellement 2D. Les ondes de Rossby thermiques ont donc la forme colonnaire suivante (simulation numérique 3D effectuée par Radostin Simitev, avec qui nous avons coopéré) :

Sur la figure de droite on a représenté, dans un plan méridien, les iso-valeurs de l'écoulement moyen ou zonal (dans la direction azimutale) engendré par cette onde ; ces écoulements zonaux joueraient un rôle important pour la dynamo, voir par exemple Kageyama & Sato, Phys. Rev. E 55 (1997). Dans le but de modéliser aussi simplement que possible ces systèmes, sachant que les calculs 3D sont toujours très lourds, Friedrich Busse, avec qui nous avons aussi coopéré, a proposé de développer des modèles quasi géostrophiques 2D reposant sur une intégration par rapport à la coordonnée axiale. On peut aussi noter l'existence d'expériences de laboratoire analogiques, où la force centrifuge joue le rôle de la gravité ; le gradient thermique appliqué doit alors être inversé pour qu'une stratification instable s'établisse. Motivés par des expériences de Markus Jaletzky utilisant des métaux liquides, et qui ont donné des résultats surprenants, nous avons développé une étude systématique d'une version très simplifiée de ce modèle, où les couvercles sont des cônes et non des coquilles sphériques (comme dans l'expérience de Markus Jaletzky), dans le cas de fluides de faible nombre de Prandtl [1].
Nous avons ensuite étudié l'influence d'un changement de pente des couvercles en fonction de la coordonnée radiale. L'analyse d'un modèle incluant de tels effets « de courbure » conduit notamment à des modes multicellulaires quasi inertiels à faible nombre de Prandtl [3].
Plus récemment nous avons développé un modèle en coordonnées cylindriques, qui donne de bons résultats à nombre de Prandtl de l'ordre de l'unité [4]. On retrouve ainsi des ondes « spiralées » et on observe que les propriétés des ondes 2D se rapprochent quantitativement de celles des ondes 3D lorsque le nombre d'Ekman diminue. Ceci est illustré par la comparaison suivante, qui porte à la fois sur les ondes et leur écoulement zonal, et valide visuellement notre modèle :

Les courbes noires à droite montrent les écoulements zonaux. Afin de clarifier les mécanismes qui contrôlent la forme précise de ces écoulements, nous avons développé une analyse énergético-géométrique du tenseur de Reynolds créé par une onde pure [4]. Cette analyse est d'une portée générale, ce que nous illustrons en étudiant aussi dans [4] le cas d'écoulements cisaillés ouverts et d'ondes de Tollmien-Schlichting ou Kelvin-Helmholtz.

 

      Une deuxième famille très différente d'ondes non linéaires est celle des ondes de bord, longeant les côtes en l'occurrence, qui jouent un rôle important en dynamique des océans. Des ondes similaires ont été obtenues dans une expérience modèle de convection tournante dans un disque chauffé par le bas menée par Liu & Ecke ( Phys. Rev. Lett 78 1997 ; Phys. Rev. E 59 1999) :

 

 

Nous avons développé un nouveau modèle de ces instabilités [2], qui donne d'assez bons résultats lorsque on le compare aux expériences de Liu & Ecke :

 

 

De plus ce modèle nous a permis de traiter le cas de la convection tournante dans un anneau, et de montrer alors l'existence d'un effet non local d'origine topologique lié à la multiple connexité du domaine d'écoulement [2].

 

      C'est justement dans le but d'étudier de tels effets que nous avons mis au point une nouvelle manipulation isotherme destinée à produire des ondes hydrodynamiques en écoulements éventuellement tournants. Elle consiste en deux plateaux tournants à des vitesses indépendantes, un plateau inférieur dans lequel est creusé un canal annulaire, et un plateau supérieur qui vient cisailler le fluide contenu dans ce canal :

La photographie de droite montre une onde obtenue expérimentalement en cisaillant le canal par le couvercle. L'onde est visible grâce à un traceur sous la forme des « virgules » régulièrement espacées dans la zone grise [5].
Nous avons mené, parallèlement à l'étude expérimentale, une étude numérique de ce système, en coopération avec Éric Serre [5].


[1] Low-Prandtl-number convection in a rotating cylindrical annulus, E. Plaut et F. H. Busse, J. Fluid Mech. 464, 345-363 (2002).

Motivated by recent experimental results obtained in a low Prandtl number fluid (Jaletzky 1999), we study theoretically the rotating cylindrical annulus model with rigid boundary conditions. A boundary layer theory is presented which allows a systematic study of the linear properties of the system in the asymptotic regime of very fast rotation rates. It shows that the Stewartson layers have a (de)stabilizing influence at (high) low Prandtl numbers. In the weakly nonlinear regime and for low Prandtl numbers, a strong retrograde mean-flow develops at quadratic order. The Poiseuille part of this mean-flow is determined by an equation obtained by averaging of the Navier-Stokes equation. It thus gives rise to a new global-coupling term in the envelope equation describing modulated waves, which can be used for other systems. The influence of this global-coupling term on the sideband instabilities of the waves is studied. In the strongly nonlinear regime, the waves restabilize against these instabilities at small rotation rates, but they are destabilized by a short-wavelength mode at larger rotation rates. We also find an inversion in the dependence of the amplitude on the Rayleigh number at low Prandtl numbers and intermediate rotation rates.

[2] Nonlinear dynamics of traveling waves in rotating Rayleigh-Bénard convection: effects of the boundary conditions and of the topology, E. Plaut, Phys. Rev. E 67, 046303-1-11 (2003).

Motivated by the experimental results of Liu & Ecke (1997, 1999), different models are developed to analyze the weakly nonlinear dynamics of the traveling-wave sidewall modes appearing in rotating Rayleigh-Bénard convection. These models assume fully rigid boundary conditions for the velocity field. At the linear level, this influences most strongly the critical frequencies: they appear to be proportional to the logarithm of the Coriolis number, which is twice the inverse of the Ekman number. An annular flow domain is considered. This multiply-connected geometry is shown to lead generally to the existence of a global mean-flow mode proportional to the average, over the azimuthal coordinate, of the square of the modulus of the envelope of the waves. Because this mode feeds back on the active wave modes at cubic order, the resulting Ginzburg-Landau envelope equation contains a nonlocal term. This new term, however, vanishes in the large-gap limit relevant to the experiments of Liu & Ecke. As compared with previous theoretical work, the present models lead to reduced discrepancies with the results of these experiments concerning the coefficients of the envelope equation. It is also shown that the new nonlocal effects may be realized experimentally in a small-gap annular geometry if a small-Prandtl-number fluid is used, despite the fact that no regime of Benjamin-Feir instability is predicted to occur.

[3] Multicellular convection in rotating annuli, E. Plaut et F. H. Busse, J. Fluid Mech. 528, 119-133 (2005).

The onset of convection in a rotating cylindrical annulus with sloping conical boundaries is studied in the case where this slope increases with the radius. The critical modes assume the form of drifting spiralling columns attached to the inner cylindrical wall at moderate and large Prandtl numbers, but they become attached to the outer wall at low Prandtl numbers. These latter `equatorially attached' modes are multicellular at intermediate rotation rates. Through a perturbation analysis which is validated by a numerical code, we show that all equatorially attached modes are quasi-inertial modes and analyze the physical mechanisms leading to multicells. This is done for both stress-free and no-slip boundary conditions. At finite amplitudes the convection generates a Reynolds stress which leads to the development of a mean zonal flow, and a geometrical analysis of the mechanisms leading to this zonal flow is presented. The influence of Ekman friction on the zonal flow is also studied.

[4] Reynolds stresses and mean fields generated by pure waves: applications to shear flows and convection in a rotating shell, E. Plaut, Y. Lebranchu, R. Simitev et F. H. Busse, J. Fluid Mech. 602, 302-326 (2008).

A general reformulation of the Reynolds stresses created by two-dimensional waves breaking a translational or a rotational invariance is described. This reformulation emphasizes the importance of a geometrical factor: the slope of the separatrices of the wave-flow. Its physical relevance is illustrated by two model systems: waves destabilizing open shear flows and thermal Rossby waves in spherical shell convection with rotation. In the case of shear-flow waves, a new expression of the Reynolds-Orr amplification mechanism is obtained, and a good understanding of the form of the mean pressure and velocity fields created by weakly nonlinear waves is gained. In the case of thermal Rossby waves, results of a three-dimensional code using no-slip boundary conditions are presented in the nonlinear regime, and compared with those of a two-dimensional quasi-geostrophic model. A semi-quantitative agreement is obtained on the flow amplitudes, but discrepancies are observed concerning the nonlinear frequency shifts. With the quasi-geostrophic model we also revisit a geometrical formula proposed by Zhang to interpret the form of the zonal flow created by the waves, and explore the very low Ekman number regime. A change in the nature of the wave bifurcation, from supercritical to subcritical, is found.

Erratum : dans la deuxième partie de l'équation (2.16c) le coefficient devant l'inverse du nombre de Reynolds doit être 3 et non 3/2.

[5] Structure and stability of annular sheared channel flows: effects of confinement, curvature and inertial forces - waves, E. Plaut, Y. Lebranchu, M. Jenny et E. Serre, Eur. Phys. J. B 79, 35-46 (2011).

The structure and stability of the flows in an annular channel sheared by a rotating lid are investigated experimentally, theoretically and numerically. The channel has a square section, and a small curvature parameter: the ratio of the inter-radii to the mean radius is 9.5%. The sidewalls and the bottom of the channel are integral and can rotate independently of the lid, permitting pure shear, co-rotation and counter-rotation cases. The basic flows obtained at small shear are characterized. In the absence of co-rotation, the centrifugal force linked with the curvature of the system plays an important role, whereas, when co-rotation is fast, the Coriolis force dominates. These basic flows undergo some instabilities when the shear is increased. These instabilities lead to supercritical traveling waves in the pure shear and co-rotation cases, but to weak turbulence in the counter-rotation case. The Reynolds number for the onset of instabilities, constructed with the velocity difference between the lid and bottom at mid-radius, and the height of the channel, increases from 1000 in the counter-rotation case to 1260 in the pure shear case and higher and higher values when co-rotation increases, i.e., when the Coriolis effect increases. The relevance of uni-dimensional Ginzburg-Landau models to describe the dynamics of the waves is studied. The domain of validity of these models turns out to be quite narrow.


Emmanuel Plaut
Last modified: Thu Feb 18 11:42:21 CET 2016